KAPITOLA 10

Priebeh funkcie

Príklad 2

Nájdime priebeh funkcie  a zostrojme jej graf.

Riešenie

Najprv sa pokúsime zostrojiť niekoľko bodov grafu danej funkcie.  Je zrejmé, že oborom definície danej funkcie je množina  Tieto body pospájame úsečkami. Dostaneme v danej časti približne graf danej funkcie.

”Zhruba vieme  aký má tvar ” graf danej funkcie. Z grafu usudzujeme, že funkcia nemôže byť periodická a ani párna, resp. nepárna. Teraz použitím derivácií určíme presnejšie niektoré vlastnosti danej funkcie. Dostávame . Pretože daná funkcia je spojitá na celom obore definície je pre . Teda na intervaloch prvá derivácia  nemení znamienko. Pretože  funkcia je rastúca na celom intervale . Podobne  je funkcia klesajúca na .                                                     Podobne pre . Pretože je druhá derivácia danej funkcie záporná na celom intervale  a teda funkcia f je na tomto intervale konkávna. Podobne zistíme, že  , teda funkcia f je na intervale  konvexná.                                                          V bode  je druhá derivácia záporná a pretože prvá derivácia bola nulová, funkcia má v tomto bode lokálne maximum  .

V bode funkcia mení sa  z konkávnej na konvexnú a teda funkcia má v bode  2 inflexný bod.

Teraz vyšetríme asymptoty grafu funkcie. Pretože funkcia má spojitú všade prvú deriváciu, nemá asymptoty bez smernice. Ak priamka je asymptotou grafu funkcie potom .

Výpočtom dostávame , teda limita je nevlastná a graf funkcie pre  nemá asymptotu.   

 Ak priamka je asymptotou grafu funkcie potom .

Výpočtom dostávame  a

Teda priamka  je asymptotou grafu funkcie so smernicou pre . S využitím získaných údajov môžeme presnejšie zostrojiť graf danej funkcie.         

Presnejší graf funkcie má tvar