KAPITOLA 10

Priebeh funkcie

Príklad 1

Kus drôtu s dĺžkou a  máme rozdeliť na dve časti, z ktorých prvá sa zohne do tvaru štvorca a druhá do tvaru kruhu. Na ktorom mieste treba urobiť rez, aby súčet obsahu štvorca a obsahu kruhu bol najmenší?

Riešenie

Ak si označíme veľkosť strany štvorca písmenom x a veľkosť polomeru kruhu r , tak  pre obvod štvorca a kruhu dostávame . Pre plošný obsah štvorca a kruhu dostávame . Potom platí , , kde je plošný obsah útvaru pozostávajúceho z kruhu a štvorca. Dostávame  a po dosadení do dostávame čo je už iba funkcia jednej premennej a to polomeru kruhu. Teda môžeme písať . Pretože funkcia “má dobré vlastnosti ” (je diferencovateľná ....) môže mať extrém v bode v ktorom je jej prvá derivácia rovná nule. Dostávame . Riešením rovnice dostávame  . Po dosadení do výrazu  dostaneme . Pretože  má funkcia  v bode  lokálne minimum. Pretože  vypočítané rozmery štvorca a kruhu udávajú riešenie danej úlohy, teda kus drôtu rozdelíme na časti   a zvyšok.