Nájdime
priebeh funkcie a zostrojme jej graf.
Najprv sa
pokúsime zostrojiť niekoľko bodov grafu danej funkcie. Je zrejmé, že oborom definície danej funkcie
je množina Tieto body pospájame
úsečkami. Dostaneme v danej časti približne graf danej funkcie.
”Zhruba
vieme aký má tvar ” graf danej funkcie.
Z grafu usudzujeme, že funkcia nemôže byť periodická a ani párna, resp.
nepárna. Teraz použitím derivácií určíme presnejšie niektoré vlastnosti danej
funkcie. Dostávame . Pretože daná funkcia je spojitá na celom obore definície je
pre
. Teda na intervaloch
prvá derivácia nemení
znamienko. Pretože
funkcia je rastúca na
celom intervale
. Podobne
je funkcia klesajúca
na
.
Podobne
pre
. Pretože
je druhá derivácia danej funkcie záporná na celom intervale
a teda funkcia f je
na tomto intervale konkávna. Podobne zistíme, že
, teda funkcia f je na intervale
konvexná.
V bode
je druhá derivácia
záporná a pretože prvá derivácia bola nulová, funkcia má v tomto bode
lokálne maximum
.
V bode
funkcia mení sa
z konkávnej na konvexnú a teda funkcia má v bode 2 inflexný bod.
Teraz
vyšetríme asymptoty grafu funkcie. Pretože funkcia má
spojitú všade prvú deriváciu, nemá asymptoty bez
smernice. Ak priamka je asymptotou grafu funkcie potom
.
Výpočtom
dostávame , teda limita je nevlastná a graf funkcie pre
nemá asymptotu.
Ak priamka je asymptotou grafu funkcie potom
.
Výpočtom
dostávame a
Teda
priamka je asymptotou
grafu funkcie so smernicou pre
. S využitím získaných údajov môžeme presnejšie
zostrojiť graf danej funkcie.
Presnejší
graf funkcie má tvar